GOMORY THEOREM / DOMINOES ON THE CHESSBOARD (SOLUTION) PART 2

https://centerless-chessboard.blogspot.gr/2018/02/dominoes-on-chessboard-tiling-puzzle.html

Το πρόβλημα είναι το εξής:

Έστω ότι ένα κομμάτι ντόμινο (2x1) έχει το ίδιο μέγεθος με δυο τετράγωνα της σκακίερας!

Είναι δυνατόν να καλύψετε την πιο πάνω σκακιέρα που αποτελείται απο 62 τετράγωνα, χρησιμοποιώντας κομμάτια από το ντόμινο;

The problem is as follows:
Suppose that a tile of dominoes is the same size as two squares of the chessboard. Is it possible to place  dominoes of size 2×1 so as to cover all of these 62 squares?

Λύση:

Το παζλ είναι αδύνατο να λυθεί. 

Έαν τοποθετήσεις ένα ντόμινο  στην σκακιέρα  καλύπτει πάντα ένα λευκό τετράγωνο και ένα μαύρο τετράγωνο. Επομένως, με την τοποθέτηση των  ντόμινο στη σκακιέρα θα καλύπτουν ίσο αριθμό τετραγώνων κάθε χρώματος. 

Παράδειγμα: Εάν αφαιρεθούν τα μαύρα τετράγωνα α1 και θ8 από τη σκακιέρα τότε έχουμε 32 λευκά τετράγωνα και 30 μαύρα τετράγωνα  για να καλυφθούν από ντόμινο, οπότε αυτό είναι αδύνατο. Το ίδιο ισχύει αν αφαιρεθούν τα λευκά.

Solution:

The puzzle is impossible to solve. 

When you placed a domino  on the chessboard will always cover one white square and one black square. So, dominoes on the board will cover an equal numbers of squares of each color. 

Example: If the two black squares a1 and h8 are removed from the chessboard then 32 white squares and 30 black squares remain to be covered by dominoes, so this is impossible. 

Θεώρημα Gomory / Gomory's theorem (1973)

Αν αφαιρέσουμε δύο τετράγωνα αντίθετου χρώματος, τότε είναι δυνατό να καλύψουμε τη σκακιέρα με ντόμινο. Το αποτέλεσμα ονομάζεται θεώρημα Gomory. Ονομάστηκε έτσι  από τον μαθηματικό Ralph E. Gomory.

Ιf two squares of opposite colors are removed, then it is always possible to tile the remaining chessboard with dominoes. Τhis result is called Gomory's theorem, by mathematician Ralph E. Gomory.

https://en.wikipedia.org/wiki/Mutilated_chessboard_problem

Ralph Edward Gomory (έτος γέννησης 1929-) είναι Αμερικανός  μαθηματικός. Ο Gomory εργάστηκε στην IBM ως ερευνητής και αργότερα ως εκτελεστικό μέλος. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, η έρευνά του οδήγησε στη δημιουργία νέων τομέων εφαρμοσμένων μαθηματικών.

Έχει γράψει εκτενώς για τη φύση της τεχνολογικής ανάπτυξης, της βιομηχανικής ανταγωνιστικότητας, των μοντέλων του διεθνούς εμπορίου και της λειτουργίας της εταιρείας στο κόσμο της  παγκοσμιοποίησης.

Ralph Edward Gomory (born 1929) is an American applied mathematician and executive. Gomory worked at IBM as a researcher and later as an executive. During that time, his research led to the creation of new areas of applied mathematics.
He has written extensively on the nature of technology development, industrial competitiveness, models of international trade, and the function of the corporation in a globalizing world

https://en.wikipedia.org/wiki/Ralph_E._Gomory.